Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.

Формулировка

Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утвеждает, что

где р и q — различные нечётные простые числа.

Также справедливы следующие дополнения:

    и    

Примеры

Простейшим проявлением закона взаимности является следующий факт, известный ещё Ферма: простыми делителями чисел могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии . Другими словами, сравнение

по простому модулю разрешимо в том и только в том случае, когда С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:

В общем случае, вопрос о разрешимости сравнения

решается использованием мультипликативности символа Лежандра и квадратичного закона взаимности.

История

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру и Лежандру, однако первое доказательство было получено только Гауссом, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности.^[1]

См. также

• Символ Лежандра
• Символ Якоби
• Символ Кронекера — Якоби

Примечания

1. ↑ Айерленд К., Роузен М. - Классическое введение в современную теорию чисел.

Ссылки

• Прасолов В. В. Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву // Математическое просвещение. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.